Yazan: Kübra Nur Canbay
Düzenleyen: Ezgi Ordu
Özet: Gödel’in iki Eksiklik Teoremi, çağdaş mantığın en önemli sonuçları arasındadır ve çeşitli konularda derin etkileri vardır. Gödel’in İlk Eksiklik Teoremi, matematikte ne kanıtlanabilir ne de reddedilebilir bir matematiksel ifade sergileyerek tamlığa karşı çıkar. Yani hiçbir matematik sisteminin tam olamayacağı ile ilgilidir. İkinci Eksiklik Teoremi, matematiğin tutarlılığının matematiğin kendisinde kanıtlanamayacağını gösterir. Ancak Gödel’e göre bu teoremler, tüm sistemlerin eksik olacağı anlamına gelmez. Çünkü doğru önermelerin bazıları başka sistemlerde yer alırken ispatları bir başka sistemde bulanabilir.
Giriş
Gödel’in önermelerini anlamak için öncelikle biçimsel sistem, tutarlılık ve bütünlük gibi kavramları açıklamak gerekir. Biçimsel sistem yeni teoremler ortaya çıkarmak için kullanılan belit sistemidir. Belitler kümesinin sonlu ya da en azından karar verilebilir olması gerekir. Belirli bir ifadenin belit olup olmadığına mekanik olarak karar vermesini sağlayan etkili bir yöntem gereklidir. Bu anlamda biçimsel sistem oldukça etkilidir. Sistemin dilinin her ifadesi için ifade veya olumsuzlama sistemde kanıtlanabiliyorsa biçimsel bir sistem tamamlanmıştır yani bütünlük sağlanmıştır. Son olarak, biçimsel bir sistemde ifadenin kendisinin ve olumsuzlamasının kanıtlanabilir olduğu şeklinde bir ifade yoksa tutarlıdır.
İlk Eksiklik Teoremi
Doğru olan her şey kanıtlanamaz.
Kurt Gödel
Yirminci yüzyılın başlarında, küme kuramındaki çelişkilerin ortaya çıkması matematikçiler arasında endişeye yol açmıştı. Dönemin ünlü matematikçilerinden Hilbert, matematikte bilinemeyecek veya çelişkilere yol açacak durumların olmadığını ispatlama amacındaydı. Bu düşünceden yola çıkarak matematiği matematiğe uygulamaya başladı. Principia Mathematic’daki [1] yöntemlerle birtakım mekanik kurallar sunuldu. Gödel, gerçeğin yerine kanıtlanabilirlik gelirse bu tür çelişkilerin hiçbir şekilde ortaya çıkmayacağını fark etti. Ulaştığı sonucu ilk kez, doktora yaptığı sırada katıldığı bir konferansta paylaştı. Principia Mathematica [1] ile ifade edilebilen bazı problemlerin aynı mantıksal araç ile çözülemeyeceğini savundu. Bu durumun ortaya çıkardığı eksiklikten kasıt karar verilemezliktir. Bir belitin karar verilemez ya da çözümsüz olması o sistemi eksik kılıyordu.
Teoremin ispatında Principia Mathematica’da [1] tanımlanan ve Peano aritmetiğini[1] içeren bir sistem kullandı. Öncelikle, Peano aritmetiği için “P” notasyonunu kullandı. Ardından, ω-tutarlılık kavramını tanımlayarak teoremini matematiksel olarak şu şekilde ifade etti:
“Eğer P, ω-tutarlıysa o zaman P’den ne kanıtlanabilir ne de reddedilebilir bir cümle vardır.”
İspatın ilk adımları, teorinin formüllerini ve bu formüllerin sonlu listelerini doğal sayılar olarak temsil etmektir. Bu sayılara formüllerin Gödel sayıları denir. Bir formülün Gödel numarası, formülü oluşturan her bir sembolün Gödel sayılarının birleştirilmesiyle elde edilir. Her sembolün Gödel sayıları sıfır ile ayrılır çünkü tasarım gereği bir sembolün Gödel numarası 0 içermez.
İspatın devamında kanıtlanabilirlik kavramının, teorinin biçimsel dili içinde ifade edilebileceğini göstermek için Gödel numaralandırmasını kullanıldı. Bu adımı şöyle ifade edelim:
“X, bir Gödel sayısı S ve y = G (S) olmak üzere ∀ (x,y), x ve y kanıtlanabilir.”
Gödel, ilk teoremin ispatını sonuçlandırırken söz dizilerini matematiksel olarak ifade ettikten sonra;
Her x ve y’nin bir serbest değişken olduğu her F (y) formülü için x ve G (S) iki sayı arasındaki bir ilişki olan q (x, G (F)) ifadesine karşılık gelecek şekilde tanımlarız. “X, F (G (F))’nin bir kanıtının Gödel sayısı değildir.”
P (G (P)) = ∀ y, q (y, G (P)) formülünü düşünelim. G (P) sayısı ile ilgili bu formül;
“P (G (P)) ‘nin kanıtı yoktur.’’ anlamına gelir.
Bu formülde P (G (P)), “İspatlanabilir değilim.” i gösterir. Dolasıyla, P’nin tutarsız olduğunu ispatlamış olur.
Kendisi ispatının sonucunu şöyle ifade eder: “Az önce verilen ispatın yapıcı olduğunu kolaylıkla görebiliriz; bu sezgisel olarak itiraz edilemez bir şekilde kanıtlanmıştır.” (Gödel, 1986)
İkinci Eksiklik Teoremi
İkinci Eksiklik Teoremi, sayı teorisinde sayı teorisinin tutarlılığının kanıtlanamazlığını belirler. Gödel, ikinci teoremini ise şu şekilde ifade eder:
“P tutarlıdır ancak kanıtlanabilir değildir.”
İkinci Eksiklik Teoremini kanıtlamadaki ana zorluk; İlk Eksiklik Teoreminin ispatında kullanılan kanıtlanabilirlik hakkındaki çeşitli gerçeklerin, kanıtlanabilirlik için biçimsel bir dayanak kullanarak sistem içinde resmileştirilebileceğini göstermektir. Bu yapıldıktan sonra İkinci Eksiklik Teoremi, sistemin kendi içindeki İlk Eksiklik Teoreminin tüm kanıtını resmileştirerek izler. İspat için kullanılan mantık, temel sayı teorisinin ötesine geçmez ve bu nedenle çok çaba sarf edilmesine rağmen P’nin kanıtlanabilir olmadığı gösterilmiş olur. Dikkat çeken taraf ise Gödel’in İkinci Eksiklik Teoreminin ispatında ω-tutarlılığa ihtiyaç duyulmamış olmasıdır.
Gödel, daha sonra İkinci Eksiklik Teoremi için detayların uygulanmasının, beklenenden biraz daha fazla çalışma ve özen gerektirdiğini söylemiştir. Bu teoremin tam bir kanıtı 1939’da Hilbert ve Bernays tarafından yapılmıştır. Daha kapsamlı bir açıklaması ise 1956’da Löb tarafından verilmiştir.
Gödel’in Eksiklik Teoremlerinin Felsefi Yönü
Gödel’in eksiklik teoremleri sadece matematiksel açıdan değil felsefi açıdan da oldukça önemli şeyler ifade etmektedir. Gödel, Hilbert’i izleyerek, matematiksel doğruluğun yanı sıra ispatın sınırlılığına ya da ispatlanamaz oluşuna dikkat çekmiştir. Matematiğin, mantıksal tek bir temel üzerine kurulmuş, tutarlı ve tam bir sistem olduğu hakkındaki yaygın inancı yıkmıştır.
Gödel’in yaptığı şey, sonlu belitler göz önüne alındığında kanıtlanabilir şekilde kanıtlanamaz bir matematiksel gerçeği inşa etmenin akıllıca bir yolunu bulmaktı. Eksiklik teoremleri ile meslekten olmayanların terimleriyle sonlu aksiyomlara sahip herhangi bir mantıksal sistemin hem eksiksiz hem de tutarlı olamayacağını kanıtladı. Bununla birlikte belirli bir sorunun belirli bir cevabının olmadığını kanıtlayabilmek derin anlamları da beraberinde getirdi.
Gödel’in teoremlerine ilişkin başka bir önemli nokta ise sezgi kavramını kullanmasıdır. Matematiksel nesnelerin varlıklarını kabul etmek, fiziksel nesnelerin varlığını kabul etmek kadar olağandır. Duyu algısının fiziksel nesneleri algılamayı sağlaması gibi matematiksel sezgi de matematiksel nesneleri algılamayı sağlamaktadır.
Gödel’in felsefi görüşleri genel olarak iki odak noktasıyla veya modern tabirle karakterize edilebilir. Bunlardan ilki realizm, yani matematiğin deneysel bilimler gibi tanımlayıcı bir bilim olduğu inancıdır. İkinci odak noktası ise rasyonalizm. Matematiğin bir mükemmellik biçimi vardır. Bu biçim, kişilere değil kavramlara yöneliktir yani kavramsal dünyanın mükemmel olmasını bekleyebiliriz.
Gödel’in kendi eksiklik teoremleri üzerine yaptığı yorumlarda ise matematiksel sezgi kavramının farklı bir boyutu görülmektedir:
“İnsan tini, bütün matematiksel sezgileri formüle etme yetisine sahip değildir.”
Buradaki matematiksel sezgi kavramı, bir matematikçinin matematiksel sorularla mücadele ederken kazandığı deneyimlerden ve bulgulardan yola çıkarak sorun çözme yolları elde etmesidir. Bu açıdan matematiksel sezgi kavramını düşünme kavramından ayırmak mümkün olamaz.
Yazının sonuna doğru gelirken Gödel, eksiklik teoremlerini açıkladığı yıllarda matematik dünyası üzerinde şok edici bir etki bırakmıştı. Çünkü Gödel sonucunu bilgisayar dilinde ifade etmedi. Belirli bir mantıksal sistemde çalıştı ancak birçok matematikçi, sonucun bilgisayar sistemlerinin özelliklerine bağlı olduğunu düşündü. Ancak bu büyük teoremlerin sonuçları üzerine araştırmalar günümüzde de devam etmektedir.
[1] Peano aritmetiği, doğal sayılar kümesinin tanımını vermekte kullanılan Giuseppe Peano, Julius Wilhelm ve Richard Dedekind tarafından ortaya konmuş dört temel ve bir yardımcı belitten oluşur.
